Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）若命題p：“存在x∈[

2

，4]，使f（log₂x）-k•log₂x≥2”是真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=|2^x-1|，方程f[g（x）]+

2k

g(x)

=3k+2有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,特稱(chēng)命題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把命題存在x∈[

2

，4]，使f（log₂x）-k•log₂x≥2”是真命題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，換元后分分離參數(shù)k，利用配方法求出二次函數(shù)最值得答案；
（2）把已知方程轉(zhuǎn)化為|2^x-1|²-（3k+2）•|2^x-1|+（2k+1）=0，令|2^x-1|=t，則原方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為t²-（3k+2）t+（2k+1）=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解t₁，t₂，其中0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1．然后運(yùn)用“三個(gè)二次”的結(jié)合列式得答案．

解答： 解：（1）f（log₂x）-k•log₂x≥2可化為log2x+

1

log2x

-2≥k•log2x，
設(shè)

1

log2x

=t，
∵x∈[

2

，4]，∴t∈[

1

2

，2]．
∴不等式可化為k≤t²-2t+1．
記h（t）=t²-2t+1，∵t∈[

1

2

，2]，故h（t）_max=1．
∴k的取值范圍是（-∞，1]；
（2）方程f[g（x）]+

2k

g(x)

=3k+2化為|2^x-1|²-（3k+2）•|2^x-1|+（2k+1）=0．
令|2^x-1|=t，則t∈（0，+∞），t²-（3k+2）t+（2k+1）=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解t₁，t₂，
其中0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1．
記h（t）=t²-（3k+2）t+（2k+1），則

2k+1＞0 h(1)=-k＜0

①或

2k+1＞0 h(1)=-k=0 0＜ 3k+2 2 ＜1

②
解①得，k＞0；②無(wú)解．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對(duì)題意得理解，考查了學(xué)生的邏輯思維能力，是壓軸題．