Question

16．已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1，$g（x）=\frac{x}{{{e^{x-1}}}}$，其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)a＜0，若對(duì)任意的x₁、x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），$|{f（{x_2}）-f（{x_1}）}|＜|{\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}}|$恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）設(shè)$h（x）=\frac{1}{g（x）}=\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到h（x）在[3，4]上為增函數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁）設(shè)$u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）$g'（x）=\frac{1-x}{{{e^{x-1}}}}$，令g'（x）=0，得x=1，列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值g（1）=1，無(wú)極小值；…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞），
∵$f'（x）=\frac{x-a}{x}＞0$在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上為增函數(shù)，
設(shè)$h（x）=\frac{1}{g（x）}=\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，∵$h'（x）=\frac{{{e^{x-1}}（{x-1}）}}{x^2}＞0$在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上為增函數(shù)，
不妨設(shè)x₂＞x₁，則$|{f（{x_2}）-f（{x_1}）}|＜|{\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}}|$等價(jià)于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），…（6分）
設(shè)$u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，則u（x）在[3，4]上為減函數(shù)，
∴$u'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{{{e^{x-1}}（{x-1}）}}{x^2}≤0$在[3，4]上恒成立，
∴$a≥x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$恒成立，∴$a≥{（{x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}}）_{max}}$，x∈[3，4]，…（8分）
設(shè)$v（x）=x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，∵$v'（x）=1-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}（{x-1}）}}{x^2}=1-{e^{x-1}}[{{{（{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]$，
∴${e^{x-1}}[{{{（{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]＞\frac{3}{4}{e^2}＞1$，∴v'（x）＜0，v（x）為減函數(shù)，
∴v（x）在[3，4]上的最大值$v（3）=3-\frac{2}{3}{e^2}$，∴$a≥3-\frac{2}{3}{e^2}$，
∴a的最小值為$3-\frac{2}{3}{e^2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．