Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), (其中e是自然界對數(shù)的底,)

（1）求的解析式;

（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，且，恒成立；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3 ？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３．

【解析】

試題分析：本題主要考查對稱區(qū)間上函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，把所求范圍轉(zhuǎn)化為已知范圍代入到已知解析式，再利用奇偶性整理解析式；第二問，先將代入到和中，構(gòu)造新函數(shù)，所求證的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，對和求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最值，代入到轉(zhuǎn)化的式子中驗(yàn)證對錯(cuò)即可；第三問，先假設(shè)存在最小值3，對求導(dǎo)，分情況討論a，通過是否在區(qū)間內(nèi)討論a的4種情況，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，且數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)最值，令其等于3，解出a的值．

（1）設(shè)，則，所以又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719185641693520/SYS201411171919122613976110_DA/SYS201411171919122613976110_DA.004.png">是定義在上的奇函數(shù)，所以

故函數(shù)的解析式為 2分

（2）證明：當(dāng)且時(shí)，

，設(shè)

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719185641693520/SYS201411171919122613976110_DA/SYS201411171919122613976110_DA.020.png">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719185641693520/SYS201411171919122613976110_DA/SYS201411171919122613976110_DA.026.png">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以

所以當(dāng)時(shí)，即 6分

（3）【解析】
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，

則

（ⅰ）當(dāng)，時(shí)，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，不滿足最小值是３

（ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當(dāng)，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）

（ⅳ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．

所以，解得

綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３ 12分

考點(diǎn)：對稱區(qū)間上函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問題．