Question

已知圓C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，問：是否存在斜率為1的直線l被圓C截得弦AB，且以AB為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：假設(shè)存在k＝1的直線l，使它被圓C截出弦AB，且以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB．設(shè)l的方程為y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0．因為l與圓C交于兩點，∴Δ＞0，即(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)＞0，所以b2＋6b－9＜0，即①．而x1＋x2＝－b－1，x1·x2＝，∴y1·y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝－b2－b＋b2＝b2＋．據(jù)OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2＋3b－4＝0．解之，得b＝1或b＝－4，而b＝1或b＝－4均滿足①． 　　所以存在直線l：y＝x＋1或y＝x－4使它被圓截得弦AB，且以AB為直徑的圓過原點O．

提示：

這是一存在性探索問題，可假設(shè)存在，將k＝1和OA⊥OB視為條件，來推證或計算出某一結(jié)果，再驗證該結(jié)果與已知或其他結(jié)論有無矛盾，以確定是否存在．