Question

在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

MB1

|=1，|

MB2

|=2，

AP

=

AB1

+

AB2

．若|

MP

|＜1，則|

MA

|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用,向量的模

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：注意到

AB1

⊥

AB2

，所以可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系，將給的向量條件坐標(biāo)化，然后把所求用的也用坐標(biāo)表示出來后，再根據(jù)式子的特點(diǎn)采用恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題．

解答： 解：因?yàn)?span id="hv9jnj1" class="MathJye">

AB1

⊥

AB2

，則建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)B₁（0，b），B₂（a，0），M（x，y），又

AP

=

AB1

+

AB2

，∴P（a，b），
∴|

MB1

|²=x²+（y-b）²=x²+y²-2by+b²=1①，|

MB2

|²=（x-a）²+y²=x²+y²-2ax+a²=4②，且|

MP

|²=（x-a）²+（y-b）²=x²+y²+a²+b²-2ax-2by＜1③，
又∵2by≤b²+y²，2ax≤a²+x²，∴-2by≥-b²-y²，-2ax≥-a²-x²，將這兩式代入式子①+②后得x²+y²≤5，
由①②得2by=x²+y²+b²-1，2ax=x²+y²+a²-4將這兩個式子代入③整理后得x²+y²＞4，
綜上可得4＜x²+y²≤5，所以|

MA

|=

x2+y2

∈(2，

5

]．
故答案為(2，

5

]

點(diǎn)評：本題綜合考查了向量的加法、向量的模的幾何意義，以及利用坐標(biāo)法將一個求向量模的范圍問題轉(zhuǎn)化為利用重要不等式求最值的問題，有一定難度．