Question

【題目】已知橢圓的中心的中心在中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且過(guò)點(diǎn)，離心率是．

（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（）直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2) 或．

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程為（），利用所給條件列出方程組，解出即可；（2）易判斷直線不存在斜率時(shí)不合題意，當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組消掉得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)， ，由可得關(guān)于， 的方程，連同韋達(dá)定理聯(lián)立方程組即可求得值.

試題解析：（）設(shè)橢圓的方程為，

由已知可得，計(jì)算得出， ，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（）由已知，①若直線的斜率不存在，則過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，

此時(shí)， ，顯然不成立．

②若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，

由得，

，

設(shè)， ，

則，①式， ，②，

∵，∴，則，③式，

①②③聯(lián)立計(jì)算得出，

∴直線的方程為或．