Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4．
（1）求a，b的值．
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由已知得f（0）=4，f′（0）=4．故b=4，a+b=8，從而a=4，b=4．
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，得f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-

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)．故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-2，-ln2）上單調(diào)遞減．從而當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e^-2）．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，
由已知得f（0）=4，f′（0）=4．
故b=4，a+b=8，
∴a=4，b=4．
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
∴f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-

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)．
令f′（x）=0，得x=-ln2或x=-2，
從而當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-2，-ln2）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-2，-ln2）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e^-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．