Question

若{a_n} 是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，公差為d，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=

1

anan+1

 為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m、n（1＜m＜n），使得T₁、T_m、T_n 成等比數(shù)列？若存在，求出所有m、n的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的公式以及利用裂項(xiàng)法即可求a_n和T_n；
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的性質(zhì)，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n²=S_2n-1，
∴令n=1，2得a₁=1，d=2，
則a_n=2n-1，b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
則T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+••+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)m、n（1＜m＜n），使得T₁、T_m、T_n 成等比數(shù)列，
則T_m²=T₁T_n，
即（

m

2m+1

）²=

1

3

•

n

2n+1

．
得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
即2m²-4m-1＜0，解得1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
∵m是正整數(shù)且m＞1，
∴m=2，此時(shí)n=12當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時(shí)，T₁、T_m、T_n成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．