已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,a2與b2的等差中項(xiàng)為.

(1)求橢圓E的方程.

(2)A,B是橢圓E上的兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)P(t,0),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

 

(1) +=1 (2) (-,)

【解析】(1)由題意得

解得:.即橢圓E的方程為+=1.

(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).

因線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸相交,

故AB不平行于y軸,即x1≠x2.

又交點(diǎn)為P(t,0),故|PA|=|PB|,

即(x1-t)2+=(x2-t)2+,

∴t=+�、�

∵A,B在橢圓上,∴=4-,=4-.

將上式代入①,得t=.

又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,

∴-6<x1+x2<6,則-<t<,

即實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-,).

 

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)(-1,)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)已知點(diǎn)Q(,0),動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F,且直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),證明:·為定值.

 

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過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F作實(shí)軸所在直線(xiàn)的垂線(xiàn),交雙曲線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),設(shè)雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為M,若點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,則此雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍為　　　　　　.

 

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過(guò)點(diǎn)A(11,2)作圓x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有(　　)

(A)16條 (B)17條 (C)32條 (D)34條

 

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圓心在y軸上,半徑為1,且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程為(　　)

(A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1

(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1

 

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若已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn),且左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且兩條曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1,e2,則e1·e2的取值范圍是(　　)

(A)(0,+∞) (B)(,+∞)

(C)(,+∞) (D)(,+∞)

 

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(1)求r的值.

(2)設(shè)P是圓O上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn)l,且l交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,設(shè)=+,求||的最小值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

 

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如圖,攝影愛(ài)好者在某公園A處,發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱,測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°,已知攝影愛(ài)好者的身高約為米(將眼睛S距地面的距離SA按米處理).

(1)求攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB.

(2)立柱的頂端有一長(zhǎng)為2米的彩桿MN,且MN繞其中點(diǎn)O在攝影愛(ài)好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻,攝影愛(ài)好者觀(guān)察彩桿MN的視角∠MSN(設(shè)為θ)是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出∠MSN取最大值時(shí)cosθ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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