Question

已知函數(shù)f（x）=x²+4x+3．
（1）若f（a+1）=0，求a的值；
（2）若g（x）=f（x）+cx為偶函數(shù)，求c；
（3）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)解析式，得到關(guān)于a的方程，解方程，求出a的值；（2）利用函數(shù)奇偶性得到g（-x）=g（x），化簡得到含有c的恒等式，從而fibmc的值；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性定義，證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，注意證明的步驟．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+4x+3，
∴f（a+1）=（a+1）²+4（a+1）+3，
∵f（a+1）=0，
∴（a+1）²+4（a+1）+3=0，
∴a²+6x+8=0，
∴（a+2）（a+4）=0，
∴a=-2或a=-4．
（2）∵函數(shù)f（x）=x²+4x+3，
∴g（x）=f（x）+cx=x²+（c+4）x+3．
∵函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
∴g（-x）=g（x），
∴（-x）²-（c+4）x+3=x²+（c+4）x+3，
∴2（c+4）x=0對于任意x∈R恒成立，
∴c=-4．
（3）在區(qū)間[-2，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=x₂²+4x₂+3-（x^₁2+4x₁+3）
=（x₂-x₁）（x₂+x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（x₂+x₁+4），
∵-2≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁+4＞0，
∴（x₂-x₁）（x₂+x₁+4）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)與方程、函數(shù)的奇偶性定義、函數(shù)的單調(diào)性定義，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．