Question

設(shè)有兩個命題，命題p：?x∈（1，

5

2

）使函數(shù)g（x）=log₂（ax²+2x-2）有意義；命題q：已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線2x+y=1平行，且f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減．若命題p或q為真，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對于命題p：?x∈（1，

5

2

）使函數(shù)g（x）=log₂（ax²+2x-2）有意義?不等式ax²+2x-2＞0有屬于(1，

5

2

)的解?a＞(

2

x2

-

2

x

)min，x∈(1，

5

2

)．
利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出其最小值．對于命題q：由函數(shù)f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線2x+y=1平行，可得

f′(-1)=3m-2n=-2 f(-1)=-m+n=2

，即可解得m，n．令f′（x）≤0，解得-

4

3

≤x≤0．由于f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減．可得[a，a+1]⊆[-

4

3

，0]．即可解得a的取值范圍．由命題p或q為真，其中至少有一個為真命題即可得出．

解答： 解：對于命題p：?x∈（1，

5

2

）使函數(shù)g（x）=log₂（ax²+2x-2）有意義，
則不等式ax²+2x-2＞0有屬于(1，

5

2

)的解；
即a＞(

2

x2

-

2

x

)min，x∈(1，

5

2

)．
∵1＜x＜

5

2

，∴

2

5

＜

1

x

＜1，
∴

2

x2

-

2

x

=2(

1

x

-

1

2

)2-

1

2

∈[-

1

2

，0)．
∴a＞-

1

2

．
命題q：由f′（x）=3mx²+2nx，
∵函數(shù)f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線2x+y=1平行，
∴

f′(-1)=3m-2n=-2 f(-1)=-m+n=2

，解得m=2，n=4．
∴f（x）=2x³+4x²，f′（x）=6x²+8x，令f′（x）≤0，解得-

4

3

≤x≤0．
∵f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減．
∴[a，a+1]⊆[-

4

3

，0]．
∴

a≥- 4 3 a+1≤0

，解得-

4

3

≤a≤-1．
若命題p或q為真，則-

4

3

≤a≤-1或a＞-

1

2

．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-

4

3

，-1]∪(-

1

2

，+∞)．

點評：本題考查了存在性問題的等價轉(zhuǎn)化方法、二次函數(shù)的單調(diào)性、利用研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．