Question

已知曲線f（x）=

log2(x+1)

x+1

（x＞0）上有一點(diǎn)列P_n（x_n，y_n）（n∈N*），點(diǎn)P_n在x軸上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=2+1（n∈N*），x₁=1．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積是S_n，求證：

1

S1

+

1

2S2

+…+

1

nSn

＜4．

Answer 1

分析：（1）由x_n=2x_n-1+1，從而有x_n+1=2（x_n-1+1），故可得{x_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先將四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積表示為：Sn=

3n+1

4

，再表示

1

nSn

，進(jìn)而利用放縮法可證．

解答：解：（1）由x_n=2x_n-1+1得x_n+1=2（x_n-1+1），∵x₁=1∴x_n+1≠0，
故{x_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，∴x_n=2ⁿ-1．（6分）
（2）∵yn=f(xn)=

log2(2n-1+1)

2n-1+1

=

n

2n

，∴Q_nQ_n+1=2ⁿ，而P_nQ_n=

n

2n

，（9分）
∴四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積為：Sn=

3n+1

4

，∴

1

nSn

=

4

n(3n+1)

=12(

1

3n

-

1

3n+1

)＜12(

1

3n

-

1

3n+3

)=4(

1

n

-

1

n+1

)，
故

1

S1

+

1

2S2

+…+

1

nSn

＜4(1-

1

n+1

)＜4．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，從而求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查放縮法證明不等式，屬于中檔題．