Question

（理科）（本小題滿分12分）如圖分別是正三棱臺(tái)ABC－A₁B₁C₁的直觀圖和正視圖，O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點(diǎn)．

（1）求正三棱臺(tái)ABC－A₁B₁C₁的體積；
（2）求平面EA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的余弦；
（3）若P是棱A₁C₁上一點(diǎn)，求CP＋PB₁的最小值．

Answer 1

（1）；
（2）；（3）最小值為。

試題分析：（1）由題意,正三棱臺(tái)高為  ..2分
   ..4分
（2）設(shè)分別是上下底面的中心，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).以 為原點(diǎn)，過(guò)平行的線為軸建立空間直角坐標(biāo)系. ，， ，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即
取，取平面的一個(gè)法向
量，設(shè)所求角為
則   ..8分
（3）將梯形繞旋轉(zhuǎn)到,使其與成平角

，由余弦定理得
即的最小值為   ..13分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。利用向量則簡(jiǎn)化了證明過(guò)程，對(duì)計(jì)算能力要求高。