Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²

ωx

2

+cos（ωx+

π

3

）（其中ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（A）=-

1

2

，c=3，△ABC的面積為6

3

，求a．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后根據(jù)周期公式及已知周期確定出ω的值，再利用正弦函數(shù)的遞增區(qū)間即可確定出f（x）的遞減區(qū)間；
（2）由（1）得出的解析式及已知f（A）=-

1

2

，確定出A的度數(shù)，由c，sinA，以及已知面積，利用三角形面積公式求出b的值，再由b，c，cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（1）由已知得f（x）=1+cosωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx=1+

3

2

cosωx-

3

2

sinωx=1-

3

sin（ωx-

π

3

），
∵最小正周期為π，ω＞0，即

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=1-

3

sin（2x-

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
則f（x）的遞減區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（2）由第一問及已知得到f（A）=1-

3

sin（2A-

π

3

）=-

1

2

，即sin（2A-

π

3

）=

3

2

，
∴2A-

π

3

=

π

3

或

2π

3

，即A=

π

3

或

π

2

，
∵△ABC為銳角三角形，
∴A=

π

3

，
∵c=3，S_△ABC=6

3

，
∴

1

2

bcsinA=

1

2

×3b×

3

2

=6

3

，即b=8，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+9-24=49，
則a=7．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．