Question

已知三條直線2x-y-3=0，4x-3y-5=0和ax+y-3a+1=0相交于同一點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)和a的值；
（2）求過點(diǎn)（-2，3）且與點(diǎn)P的距離為2

5

的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

專題：直線與圓

分析：（1）聯(lián)立

2x-y-3=0 4x-3y-5=0

，解得點(diǎn)P（2，1）．將P的坐標(biāo)（2，1）代入直線ax+y-3a+1=0中，解得a即可．
（2）設(shè)所求直線為l，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則l的方程為x=-2；不合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y-3=k（x+2），利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）聯(lián)立

2x-y-3=0 4x-3y-5=0

，解得

x=2 y=1

，
∴點(diǎn)P（2，1）．
將P的坐標(biāo)（2，1）代入直線ax+y-3a+1=0中，可得2a+1-3a+1=0，解得a=2．
（2）設(shè)所求直線為l，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則l的方程為x=-2，
此時(shí)點(diǎn)P與直線l的距離為4，不合題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，
則l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
因此點(diǎn)P到直線l的距離d=

|2k-1+2k+3|

k2+1

=2

5

，
解方程可得k=2．
所以直線l的方程為2x-y+7=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的交點(diǎn)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)斜式，考查了分類討論思想方法，屬于基礎(chǔ)題．