Question

對任意實(shí)數(shù)x，若不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜1
B．k＜-3
C．k＞1
D．k＞3

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目已知不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，求k的取值范圍，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．對于求|x+1|+|x-2|的最小值，可以分析它幾何意義：在數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)-1的距離加上點(diǎn)x到點(diǎn)2的距離．分析得當(dāng)x在-1和2之間的時候，取最小值，即可得到答案．
解答：解：已知不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．
故設(shè)函數(shù)y=|x+1|+|x-2|． 設(shè)-1、2、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B、P．
則函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的含義是P到A的距離與P到B的距離的和．
可以分析到當(dāng)P在A和B的中間的時候，距離和為線段AB的長度，此時最�。�
即：y=|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x-2|的最小值為3．
即：k＞3．
故選擇D．
點(diǎn)評：此題主要考查不等式恒成立的問題，其中涉及到絕對值不等式求最值的問題，對于y=|x-a|+|x-b|類型的函數(shù)可以用分析幾何意義的方法求最值．