Question

【題目】設n 為不小于3的正整數，集合，對于集合中的任意元素，記

（Ⅰ）當時，若，請寫出滿足的所有元素

（Ⅱ）設且，求的最大值和最小值；

（Ⅲ）設S是的子集，且滿足：對于S中的任意兩個不同元素，有成立，求集合S中元素個數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）的最大值為，當為偶數時，的最小值為，當為奇數時，； （3）中的元素個數最大值為.

【解析】

（Ⅰ）結合題意列舉可得；（Ⅱ）先根據，得到的關系式，再求解的最值；（Ⅲ）通過對集合的拆分，逐一求解.

(Ⅰ)滿足的元素為

（Ⅱ）記，，

注意到，所以，

所以

因為，所以

所以中有個量的值為1，個量的值為0.

顯然

，

當，時，

滿足，.所以的最大值為

又

注意到只有時，，否則

而中個量的值為1，個量的值為0

所以滿足這樣的元素至多有個，

當為偶數時，.

當時，滿足，且.

所以的最小值為

當為奇數時，且，這樣的元素至多有個，

所以.

當，時，滿足，.

所以的最小值為

綜上：的最大值為，當為偶數時，的最小值為，當為奇數時，.

（Ⅲ）中的元素個數最大值為

設集合是滿足條件的集合中元素個數最多的一個

記 ，

顯然

集合中元素個數不超過個，下面我們證明集合中元素個數不超過個

，則

則中至少存在兩個元素

，

因為，所以不能同時為

所以對中的一組數而言，

在集合中至多有一個元素滿足同時為

所以集合中元素個數不超過個

所以集合中的元素個數為至多為 .

記 ，則中共個元素，

對于任意的，，.

對，記其中，，

記，

顯然，，均有.

記，中的元素個數為，且滿足，，均有.

綜上所述，中的元素個數最大值為.