已知函數(shù)f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,則當(dāng)y≥l時(shí),
y
x+1
的取值范圍是
 
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)
專(zhuān)題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:判斷函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性,將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用直線和圓的位置關(guān)系,結(jié)合數(shù)形結(jié)合和
y
x+1
的幾何意義即可得到結(jié)論.
解答: 解:∵f(x)=x+sinx(x∈R),
∴f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x),
即f(x)=x+sinx(x∈R)是奇函數(shù),
∵f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,
∴f(y2-2y+3)≤-f(x2-4x+1)=f[-(x2-4x+1)],
由f'(x)=1-cosx≥0,
∴函數(shù)單調(diào)遞增.
∴(y2-2y+3)≤-(x2-4x+1),
即(y2-2y+3)+(x2-4x+1)≤0,
∴(y-1)2+(x-2)2≤1,
∵y≥1,
∴不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)閳A心為(2,1),半徑為1的圓的上半部分.
y
x+1
的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)A(-1,0)的斜率的取值范圍.
設(shè)k=
y
x+1
,(k>0)
則y=kx+k,即kx-y+k=0.
當(dāng)直線和圓相切是,圓心到直線的距離d=
|2k-1+k|
1+k2
=
|3k-1|
1+k2
=1,
即8k2-6k=0,解得k=
3
4
.此時(shí)直線斜率最大.
當(dāng)直線kx-y+k=0.經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,1)時(shí),直線斜率最小,
此時(shí)3k-1+k=0,即4k=1,解得k=
1
4
,
1
4
≤k≤
3
4
,
故答案為[
1
4
,
3
4
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷以及直線斜率的取值范圍,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,f(1-x)=1-f(x),2f(x)=f(4x),且當(dāng)0≤x1≤x2≤1時(shí),f(x1)≤f(x2),則f(
1
33
)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列說(shuō)法正確的是( 。
A、a?α,b?β,則a與b是異面直線
B、a與b異面,b與c異面,則a與c異面
C、a,b不同在平面α內(nèi),則a與b異面
D、a,b不同在任何一個(gè)平面內(nèi),則a與b異面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為acm(a>0),它是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖,則它的原圖形OABC的周長(zhǎng)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①已知集合M滿足∅?M⊆{1,2,3,4,},且M中至多有一個(gè)偶數(shù),這樣的集合M有6個(gè);
②函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2,在區(qū)間(-∞,4)上為減函數(shù),則a的取值范圍為0≤a≤
1
5

③已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
,則f(2)+f(3)+…+f(61)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
61
)=60
;
④如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且f(x)=(x-2014)2+1(x≥0),
則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=(x+2014)2-1;
其中正確的命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求函數(shù)f(x)=x2-2x+3,x∈[-1,2]的值域
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(k-1)x+1=0有兩個(gè)實(shí)根,則k的取值范圍為( 。
A、[-1,3]
B、(-∞,-1]∪[3,+∞)
C、(-1,3)
D、(-∞,-1)∪(3,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD位于第一象限,且頂點(diǎn)A、D分別在x,y的正半軸上(含原點(diǎn))滑動(dòng),則
OB
OC
的最大值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=x2+2的導(dǎo)數(shù)為
 

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