Question

7．函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]上的值域?yàn)閇$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，那么就稱函數(shù)y=f（x）為“半值函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是“半值函數(shù)”，則t的取值范圍為（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知h（x）都是R上的增函數(shù)，再根據(jù)“半值函數(shù)”的定義得到log_c（c^x+t）=$\frac{x}{2}$，構(gòu)造關(guān)于m的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵h(yuǎn)（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1），c＞1或0＜c＜1，h（x）都是R上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（a）=\frac{a}{2}}\\{h（b）=\frac{2}}\end{array}\right.$，即log_c（c^x+t）=$\frac{x}{2}$，即c^x+t=${c}^{\frac{x}{2}}$有兩不等實(shí)根，
令c${\;}^{\frac{x}{2}}$=m（m＞0）
∴t=m-m²有兩不等正根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=1}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=t＞0}\\{△=1-4t＞0}\end{array}\right.$
解得0＜t＜$\frac{1}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義，以及對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，方程根的問題，屬于中檔題．