Question

如圖所示的幾何體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐，其中AB=2，BC=3，AA₁=2，點P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=

2

，
（Ⅰ）在棱BB₁（含端點）上能否找到一點M，使得PC∥平面ADM，并請說明理由；
（Ⅱ）求該幾何體的表面積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設B₁M=t，則0≤t≤2，以D₁為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出M點與B₁重合時，PC∥平面ADM．
（Ⅱ）由該幾何體的表面積S=S四邊形A1B1C1D1+2S 四邊形AA1D1D+2S 四邊形AA1B1B+2S_△PBC+S_△PAB+S_△PDC，能求出結果．

解答： 解：（Ⅰ）設B₁M=t，則0≤t≤2，以D₁為原點，建立空間直角坐標系，
由題意知．D（0，0，2），M（3，2，t），B（3，2，2），
C（0，2，2），P（0，1，3），A（3，0，2），
∴

DM

=（3，2，t-2），

PC

=(0，1，-1)，

DA

=（3，0，0），
設平面ADM的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • DM =3x+2y+(t-2)z=0 m • DA =3x=0

，取y=1，得

m

=（0，1，

2

2-t

），
∵PC∥平面ADM，
∴

PC

•

m

=1-

2

2-t

=0，解得t=0，
∴M點與B₁重合時，PC∥平面ADM．
（Ⅱ）∵

AB

=(0，2，0)，

AP

=（-3，1，1），
∴P到AB的距離d₁=|

AP

|

1-cos2＜ AP ， AB ＞

=

11

•

1- 1 11

=

10

，
∵

BC

=（-3，0，0），

BP

=（-3，-1，1），
∴P到BC的距離d₂=|

BP

|

1-cos2＜ BP ， BC ＞

=

11

•

1- 9 11

=

2

．
∴該幾何體的表面積：
S=S四邊形A1B1C1D1+2S 四邊形AA1D1D+2S 四邊形AA1B1B+2S_△PBC+S_△PAB+S_△PDC
=3×2+2×2×2+2×3×2+2×

1

2

×3×

2

+

1

2

×2×

10

+

1

2

×2×1
=3

2

+

10

+27．

點評：本題考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，考查幾何體的表面積的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．