Question

已知函數(shù)g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的極值點(diǎn)為x=1，f（x）=

1

2

ax²-ax-3
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，并比較g（x）與g（1）的大小關(guān)系；
（Ⅱ）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點(diǎn)，如果在曲線C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得x₀=

x1+x2

2

且曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F（x）均存在“中值相依切線”．試問(wèn)：函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）是否存在“中值相依切線”？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的極值點(diǎn)為x=1，求出b，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，并比較g（x）與g（1）的大小關(guān)系；
（Ⅱ）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侶切線的意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答： 解：（Ⅰ）易知函數(shù)g（x）的定義域是（0，+∞），且g′（x）=

b2

x

-b，…（1分）
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的極值點(diǎn)為x=1，所以g′（1）=b²-b=0，且b≠0，
所以b=1，…（3分）
所以g（x）=lnx-x-3，g′（x）=

1-x

x

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
所以x=1是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，并且是最大值點(diǎn)，…（5分）
所以g（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞），g（x）≤g（1）．…（6分）
（Ⅱ）不存在．…（7分）
理由如下：F（x）=g（x）-f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x
∴F′（x）=

1

x

-ax+（a-1）
假設(shè)函數(shù)F（x）存在“中值相依切線”．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），是曲線y=F（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，
則k_AB=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₁+x₂）+（a-1）…（8分）
曲線在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率k=F′（x₀）=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+a-1…（9分）
依題意得

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₁+x₂）+（a-1）=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+a-1
設(shè)

x2

x1

=t（t＞1），上式可化為lnt+

4

t+1

=2．
令h（t）=lnt+

4

t+1

，則h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因?yàn)閠＞1，顯然h′（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）上遞增，顯然有h（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
綜上所述，假設(shè)不成立．
所以函數(shù)f（x）不存在“中值相依切線”．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查存在性問(wèn)題，綜合性強(qiáng)．