Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x，a，bR，且a＞0．

（1）若a＝2，b＝1，求函數(shù)f(x)的極值；

（2）設(shè)g(x)＝a(x－1)e^x－f(x)．

① 當(dāng)a＝1時(shí)，對(duì)任意x(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；

② 設(shè)g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，f (x)＝(2＋)e^x，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．

所以f ′(x)＝e^x．                    

令f ′(x)＝0，得x₁＝－1，x₂＝，列表

x	(－∞，－1)	－1	(－1，0)	(0，)		(，＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

由表知f (x)的極大值是f (－1)＝e^－1，f (x)的極小值是f ()＝4．

（2）① 因?yàn)?i>g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x，

當(dāng)a＝1時(shí)，g (x)＝(x－－2)e^x．

因?yàn)?i>g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，

所以b≤x²－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．          

記h(x)＝x²－2x－（x＞0），則h′(x)＝．

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是減函數(shù)；

當(dāng)x＞1時(shí)，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函數(shù)．

所以h(x)_min＝h(1)＝－1－e^－1．

所以b的最大值為－1－e^－1．                       

解法二：因?yàn)?i>g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x，

當(dāng)a＝1時(shí)，g (x)＝(x－－2)e^x．

因?yàn)?i>g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，

所以g(2)＝－e²＞0，因此b＜0．               

因?yàn)?i>b＜0，所以：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在（0，1）上是減函數(shù)；

當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)在（1，＋∞）上是增函數(shù)．

所以g(x)_min＝g(1)＝(－1－b)e^－1                               

因?yàn)?i>g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，

所以(－1－b)e^－1≥1，解得b≤－1－e^－1

因此b的最大值為－1－e^－1．                        

②解法一：因?yàn)?i>g (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x．

由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0，

整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0．

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，

等價(jià)于存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．          

因?yàn)?i>x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函數(shù)，所以u(x)＞u(1)＝－1，

所以＞－1，即的取值范圍為（－1，＋∞）．          

解法二：因?yàn)?i>g (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x．

由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0，

整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0．

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，

等價(jià)于存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．     

設(shè)u(x)＝2ax³－3ax²－2bx＋b(x≥1)

u′(x)＝6ax²－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b  當(dāng)b≤0時(shí)，u′(x) ≥0

此時(shí)u(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，因此u(x)≥u(1)＝－a－b

因?yàn)榇嬖?i>x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立

所以只要－a－b＜0即可，此時(shí)－1＜≤0           

當(dāng)b＞0時(shí)，令x₀＝＝＞1，得u(x₀)＝b＞0，

又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0，在(1，x₀)上必有零點(diǎn)

即存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立，此時(shí)＞0  

綜上有的取值范圍為（－1，＋∞）．