設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2
(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.
【答案】分析:(1)先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.
(2)根據(jù)ex≥1+x可得不等式f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,從而可知當(dāng)1-2a≥0,即時(shí),f′(x)≥0判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)性,得到答案.
解答:解:(1)a=0時(shí),f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0.
故f(x)在(-∞,0)單調(diào)減少,在(0,+∞)單調(diào)增加
(II)f′(x)=ex-1-2ax
由(I)知ex≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,
從而當(dāng)1-2a≥0,即時(shí),f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,
于是當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0.
由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).
從而當(dāng)時(shí),f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),
故當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí),f'(x)<0,而f(0)=0,于是當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí),f(x)<0.
綜合得a的取值范圍為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問(wèn)題以及參數(shù)取值范圍問(wèn)題,考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應(yīng)的運(yùn)算能力.
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(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
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18、設(shè)函數(shù)f(x)=ex[x2-(1+a)x+1](x∈R),
(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線與直線y=x+4平行.求a的值;
(II)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間.

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-1
-1

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設(shè)函數(shù)f(x)=ex
(I)求證:f(x)≥ex;
(II)記曲線y=f(x)在點(diǎn)P(t,f(t))(其中t<0)處的切線為l,若l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S,求S的最大值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),g(x)=x2-x,記h(x)=f(x)+g(x).
(1)h′(x)為h(x)的導(dǎo)函數(shù),判斷函數(shù)y=h′(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)若函數(shù)y=|h(x)-a|-1=0有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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