Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx+1．
（Ⅰ）當(dāng)a=-

1

4

時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過a=-

1

4

，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0，然后求出極值點(diǎn)，然后求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，導(dǎo)數(shù)小于0恒成立，然后求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： （本題滿分14分）
解：（I）當(dāng)a=-

1

4

時，f′(x)=-

(x-2)(x+1)

2x

(x＞0)…（2分）
則當(dāng)0＜x＜2時f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，2）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＞2時f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)，…（5分）
故當(dāng)x=2時函數(shù)f（x）有極大值f(2)=

3

4

+ln2…（7分）
（Ⅱ）f′(x)=2a(x-1)+

1

x

，因函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，
則f′(x)=2a(x-1)+

1

x

≤0在區(qū)間[2，4]上恒成立，…（9分）
即2a≤

1

-x2+x

在[2，4]上恒成立，而當(dāng)2≤x≤4時，

1

-x2+x

∈[-

1

2

，-

1

12

]，…（12分）
2a≤-

1

2

，即a≤-

1

4

，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

1

4

]．   …（14分）

點(diǎn)評：本題考查考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．