Question

（本小題滿分13分）已知橢圓C：的離心率為，其四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積是，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在橢圓C上，且．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求線段AB長度的最小值；

（3）試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）； （2）線段AB長度的最小值為；（3）直線AB與圓相切．

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)可列方程組 ，解得 的值，從而確定橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，其中，結(jié)合條件，把表示成 的函數(shù)再求其最值．

（3）設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，其中．寫出直線AB的方程，求出原點(diǎn)到直線AB的距離，并結(jié)合條件判斷與圓的半徑的關(guān)系，從而得到直線與圓的位置關(guān)系．

試題解析：【解析】
（1）由題意，解得．

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 3分

（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，其中，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060406045479131563/SYS201506040605020717785308_DA/SYS201506040605020717785308_DA.008.png">，所以，即， 4分

解得，又，

所以

=

=

==， 5分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060406045479131563/SYS201506040605020717785308_DA/SYS201506040605020717785308_DA.024.png">，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，

故線段AB長度的最小值為． 7分

（3）直線AB與圓相切． 8分

證明如下：

設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，，其中．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060406045479131563/SYS201506040605020717785308_DA/SYS201506040605020717785308_DA.029.png">，所以，即，解得． 9分

直線AB的方程為，

即， 10分

圓心O到直線AB的距離, 11分

由，，

故 ，

所以 直線AB與圓相切． 13分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)；2、兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)到直線的距離公式；3、直線與圓的位置關(guān)系．