Question

如圖，在多面體ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁是邊長為a的正方形，AB=AC，BC=

2

AB，A₁A⊥平面ABC，BC∥B₁C₁，且BC=2B₁C₁．
（1）求證：A₁C₁∥面ABC；
（2）求證：A₁C₁⊥平面B₁BCC₁；
（3）求三棱錐B-A₁CC₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BC中點D，連接AD，B₁D，C₁D．證明四邊形B₁C₁DB是平行四邊形，可得C₁D∥B₁B，進(jìn)而可證A₁C₁∥面ABC；
（2）證明：A₁C₁⊥平面B₁BCC₁，只需證明AD⊥平面B₁BCC₁，
（3）利用V_B-A1CC1=V_A1-BCC1，即可求三棱錐B-A₁CC₁的體積．

解答： （1）證明：取BC的中點D，連接AD，B₁D，C₁D
∵B₁C₁∥BC且BC=2B₁C₁，
∴B₁C₁DB是平行四邊形，故C₁D₁∥B₁B，且C₁D₁=B₁B
又A₁A∥B₁B且A₁A=B₁B，∴A₁A∥C₁D，且A₁A=C₁D
∴A₁ADC₁是平行四邊形
∴A₁C₁∥AD，
∵AD?面ABC，
∴A₁C₁∥面ABC；
（2）證明：∵A₁A⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴A₁A⊥AD，
∵A₁A∥C₁D，
∴C₁D⊥AD
∵△ABC是等腰直角三角形，∠CAB是直角，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁D=D，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
∵A₁C₁∥AD，
∴A₁C₁⊥平面B₁BCC₁；
（3）解：V_B-A1CC1=V_A1-BCC1=

1

3

S_△BCC1•A₁C₁=

1

3

•

1

2

•

2

a•a•

2

2

a=

1

6

a3．

點評：本題考查線面平行、線面垂直，考查三棱錐B-A₁CC₁的體積，掌握線面平行、線面垂直的判定方法是關(guān)鍵．