Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知a=csinB+bcosC，b=

2

，則△ABC面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出tanB的值，確定出B的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

4

，
由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即2=a²+c²-

2

ac，
∴2+

2

ac=a²+c²≥2ac，即ac≤

2

2- 2

=2+

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c，即a=c=

2+ 2

時(shí)取“=”，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac，
∴△ABC面積的最大值為

1+ 2

2

．
故答案為：

1+ 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．