Question

已知函數(shù)f（x）=sin²（x-

π

6

）+sin²（x+

π

6

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-

π

3

，

π

6

]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換、以及y=Asin（ωx+）的周期等于 T=

2π

ω

，可得結論．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin²（x-

π

6

）+sin²（x+

π

6

）=

1-cos(2x- π 3 )

2

+

1-cos(2x+ π 3 )

2

 
=1-

1

2

[cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

]=1-

1

2

•2cos2xcos

π

3

=1-

1

2

cos2x，
所以，函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
（2）因為x∈[-

π

3

，

π

6

]，所以 2x∈[-

2π

3

 

π

3

]，∴cos2x∈[-

1

2

，1]，f（x）∈[

1

2

，

5

4

]，
故函數(shù)f（x）的值域為[

1

2

，

5

4

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．