Question

【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極大值為1，無極小值（2）

【解析】

（1）先求出，得知當(dāng)所以當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，從而求得函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而求得函數(shù)的極值；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則，，分別討論①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)的情況，從而求得的范圍.

（1）函數(shù)的定義域：，，

所以當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，

故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減

所以，無極小值．

（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則

由可得

①當(dāng)時(shí)，≤0，在[0,1]上單調(diào)遞減，

∴，即；

②當(dāng)時(shí)，>0，在[0,1]上單調(diào)遞增，

∴，即；

③當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，

，由于，故

，由（1）知，所以

故不可能成立；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．