Question

已知動圓C過定點M（0，2），且在x軸上截得弦長為4．設該動圓圓心的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C方程；
（Ⅱ）點A為直線l：x-y-2=0上任意一點，過A作曲線C的切線，切點分別為P、Q，△APQ面積的最小值及此時點A的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設動圓圓心坐標為C（x，y），根據(jù)題意得

x2+(y-2)2

=

y2+4

，由此能求出曲線C方程．
（Ⅱ）設直線PQ的方程為y=kx+b，由

x2=4y y=kx+b

，得x²-4kx-4b=0，由此利用根的判別式、韋達定理、切線方程、點到直線的距離公式能求出△APQ面積的最小值及此時點A的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）設動圓圓心坐標為C（x，y），
根據(jù)題意得

x2+(y-2)2

=

y2+4

，…（2分）
化簡得x²=4y．
∴曲線C方程為x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）設直線PQ的方程為y=kx+b，
由

x2=4y y=kx+b

，消去y得x²-4kx-4b=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2=4k x1x2 =-4b

，
且△=16k²+16b．…（6分）
以點P為切點的切線的斜率為k_P=

1

2

x1，
其切線方程為y-y₁=

1

2

x1(x-x1)，
即y=

1

2

x1x-

1

4

x12，
同理過點Q的切線的方程為y=

1

2

x2x-

1

4

x22，
設兩條切線的交點為A（x_A，y_A）在直線x-y-2=0上，
解得

xA= x1+x2 2 =2k yA= x1x2 4 =-b

，即A（2k，-b），
則：2k+b-2=0，即b=2-2k，…（8分）
代入△=16k²+16b=16k²+32-32k=16（k-1）²+16＞0，
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=4

1+k2

k2+b

，
A（2k，-b）到直線PQ的距離為d=

|2k2+2b|

k2+1

，…（10分）
∴S_△APQ=

1

2

|PQ|d=4|k²+b|

k2+b

=4（k²+b） 

3

2

=4[（k-1）²+1] 

3

2

，
∴當k=1時，S_△APQ最小，其最小值為4，
此時點A的坐標為（2，0）．…（12分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，綜合性強，難度大，解題時要注意推理論證能力的培養(yǎng)．