Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的第10項(xiàng)為23，第25項(xiàng)為-22，求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；    
（2）數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知

a10=a1+9d=23 a25=a1+24d=-22

，解得即可．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
由a_n≥0，解得n≤17

2

3

，a_n＜0，n＞17

2

3

．，所以此數(shù)列的前17項(xiàng)均為正數(shù)，從第18項(xiàng)開(kāi)始均為負(fù)數(shù)．

所以當(dāng)n≤17時(shí)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得T_n=a₁+a₂+…+a_n=50n+

n(n-1)

2

×(-3)．
當(dāng)n＞17時(shí)，T_n=T₁₇-（a₁₈+a₁₉+…+a_n）=S₁₇-（S_n-S₁₇）=2S₁₇-S_n，代入即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知可知

a10=a1+9d=23 a25=a1+24d=-22

，解得

a1=50 d=-3

．
∴a_n=50+（n-1）×（-3）=-3n+53．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
由a_n≥0，解得n≤17

2

3

，a_n＜0，n＞17

2

3

．，所以此數(shù)列的前17項(xiàng)均為正數(shù)，從第18項(xiàng)開(kāi)始均為負(fù)數(shù)．
所以當(dāng)n≤17時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a_n=50n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3

2

n2+

103

2

n．
當(dāng)n＞17時(shí)，T_n=T₁₇-（a₁₈+a₁₉+…+a_n）
=S₁₇-（S_n-S₁₇）
=2S₁₇-S_n
=2×(-

3

2

×172+

103

2

×17)-(-

3

2

n2+

103

2

n)
=

3n2

2

-

103n

2

+884．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及含絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列求和方法等是解題的關(guān)鍵．