Question

【題目】過(guò)曲線的左焦點(diǎn)且和雙曲線實(shí)軸垂直的直線與雙曲線交于點(diǎn)A,B,若在雙曲線的虛軸所在的直線上存在—點(diǎn)C,使得,則雙曲線離心率e的最小值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），依題意知當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得雙曲線離心率e的取值范圍．求出最小值．

設(shè)雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），

∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB⊥x軸，設(shè)左焦點(diǎn)F1（﹣c，0），則A（﹣c，），B（﹣c，），

∵△ABC為直角三角形，

依題意知，當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，

∴∠AOF1≥45°，

∴tan∠AOF11，

整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，

解得：e．

即雙曲線離心率e的最小值為：．

故選：C