Question

已知函數(shù)f（x）=|1-

1

x

|，（x＞0）．
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求

1

a

+

1

b

的值；
（3）是否存在實數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]？若存在，請求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性來判斷；
（2）結(jié)合a，b的范圍以及給的函數(shù)式，將f（a）=f（b）表示出來，即可得到所求的值；
（3）首先函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，同時滿足f（a）=b，f（b）=a，或f（a）=a，f（b）=b據(jù)此求解．

解答： 解：（I）∵x＞0，∴f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和

1

a

-1=1-

1

b

．
即

1

a

+

1

b

=2．
（II）不存在滿足條件的實數(shù)a，b．
若存在滿足條件的實數(shù)a，b，使得函數(shù)y=f（x）=|1-

1

x

|的定義域、值域都是[a，b]，則a＞0
而f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

；
①當(dāng)a，b∈（0，1）時，f（x）=

1

x

-1在（0，1）上為減函數(shù)．
故 

f(a)=b f(b)=a

  即  

1 a -1=b 1 b -1=a

解得  a=b．
故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．
②當(dāng)a，b∈[1，+∞）時，f（x）=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函數(shù)．
故

f(a)=a f(b)=b

     即  

1- 1 a =a 1- 1 b =b

．
此時a，b是方程 x²-x+1=0的根，此方程無實根．故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．
③當(dāng) a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實數(shù)a，b．

點評：本題綜合考查了函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值域間的關(guān)系，要注意結(jié)合1函數(shù)圖象仔細分析．