Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期為π，其圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為M（

π

6

，2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求其單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，求f（x）的最值及相應(yīng)的x的取值，并求出函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式；再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的減區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： （Ⅰ）解：由題意可得A=2，T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x+φ）．
由題意當(dāng)x=

π

6

時(shí)，2×

π

6

+φ=

π

2

，求得 φ=

π

6

，故f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為1，當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2．
故f（x）值域?yàn)閇1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．