Question

函數(shù)f（x）=1+cos（2ωx）+

3

sin（2ωx）（0＜ω＜1），若直線x=

π

3

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（1）試求ω的值；
（2）先列表再作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上的圖象；并寫出在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：作圖題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）化簡可得解析式f（x）=1+2sin（2ωx+

π

6

），由題意可得sin（

2ωx

3

+

π

6

）=±1，可解得K，ω的值．
（2）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+

π

6

）．用五點作圖法即可做出圖象，求出[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=1+2sin（2ωx+

π

6

），
∵直線x=

π

3

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，
∴sin（

2ωx

3

+

π

6

）=±1
∴

2ωx

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，（k∈Z）
∴ω=

3

2

k+

1

2

，∵0＜ω＜1
∴-

1

3

＜k＜

1

3

，又k∈Z
∴K=0，ω=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+

π

6

）．
列表：

x+ π 6	- 5π 6	- π 2	0	π 2	π	7π 6
x	-π	- 2π 3	- π 6	π 3	5π 6	π
y	0	-1	1	3	1	0

描點作圖如下：

在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間是[-π，-

2π

3

]，[

π

3

，π]．

點評：本題主要考察了五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數(shù)的圖象與性質，三角函數(shù)中的恒等變換應用，屬于基本知識的考查．