Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其中一個(gè)焦點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，試求三角形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）根據(jù)直線與軸的交點(diǎn)，求得的值，再利用離心率求得的值，進(jìn)而求得的值，得到橢圓的方程；

（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零，得到，利用韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積，利用弦長公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離，求得三角形的高，利用三角形的面積公式，得到關(guān)于的式子，利用基本不等式求得最大值.

（1）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)即為直線與軸的交點(diǎn)，所以，

又離心率為則,，所以橢圓方程為；

（2）聯(lián)立若直線與橢圓方程得，令，得設(shè)方程的兩根為，

則，，，

點(diǎn)到直線的距離，

當(dāng)且僅當(dāng)，

即或時(shí)取等號(hào)，而或滿足，

所以三角形面積的最大值為1.