Question

16．已知雙曲線C：x²-y²=1及直線l：y=kx+1．
（1）若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
（2）若l與C交于A，B兩點，且AB中點橫坐標為$\sqrt{2}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用方程組與兩個交點，求出k的范圍．
（2）設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理以及弦長公式區(qū)間即可．

解答 解：（1）雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，
則方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-{y^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$有兩個不同的實數根，（1分）
整理得（1-k²）x²-2kx-2=0．（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△=4{k^2}+8（{1-{k^2}}）＞0\end{array}\right.$，解得-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$且k≠±1．（5分）
雙曲線C與直線l有兩個不同交點時，k的取值范圍是（-$\sqrt{2}$，-1）∪（-1，1）∪（1，$\sqrt{2}$）．（6分）
（2）設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）得${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{1-{k^2}}}=2\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}{k^2}+k-\sqrt{2}=0$，解得：$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}或k=-\sqrt{2}$．
∵-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$且k≠±1．∴$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（9分）
∴△=-4k²+8=6．
∴$|{AB}|=\sqrt{（{1+{k^2}}）}\frac{{\sqrt{△}}}{{1-{k^2}}}=6$（12分）

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．