Question

若實(shí)數(shù)a，b，c滿足

1

2a

+

1

2b

=1，

1

2a+b

+

1

2b+c

+

1

2a+c

=1，則c的最大值是

2-log₂3

．

Answer 1

分析：由

1

2a

+

1

2b

=1，

1

2a+b

+

1

2b+c

+

1

2a+c

=1，求得

1

2b+c

+

1

2a+c

=

1

2c

，利用基本不等式可求得2^c≤

4

3

，問題即可解決．

解答：解：∵

1

2a

+

1

2b

=1，
∴有基本不等式得：1=

1

2a

+

1

2b

≥2

1 2a • 1 2b

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取“=”），
∴

1

2a

•

1

2b

≤

1

4

，
∴-

1

2a

•

1

2b

≥-

1

4

，
∵

1

2a+b

+

1

2b+c

+

1

2a+c

=1，

1

2b+c

+

1

2a+c

=

1

2c

（

1

2a

+

1

2b

）=

1

2c

，
∴

1

2c

=1-

1

2a+b

≥

3

4

，
∴2^c≤

4

3

．
∴c≤log2

4

3

=2-log₂3．
故答案為：2-log₂3．

點(diǎn)評：本題考查基本不等式及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，利用已知將

1

2b+c

+

1

2a+c

化為

1

2c

是關(guān)鍵，考查分析轉(zhuǎn)化與運(yùn)算的能力，屬于中檔題．