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已知拋物線的頂點在原點,它的準線過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個焦點,并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直,拋物線與雙曲線交于點P(
3
2
6
),求拋物線方程和雙曲線方程.
分析:首先根據拋物線的準線過雙曲線的焦點,可得p=2c,再利用拋物線與雙曲線同過P(
3
2
,
6
),求出c、p的值,進而結合雙曲線的性質a2+b2=c2,求解即可.
解答:解:設拋物線方程為y2=2px(p>0),
∵點(
3
2
,
6
)在拋物線上,∴6=2p•
3
2
,∴p=2,
∴所求拋物線方程為y2=4x.
∵雙曲線左焦點在拋物線的準線x=-1上,
∴c=1,即a2+b2=1,又點(
3
2
,
6
)在雙曲線上,
(
3
2
)2
a2
-
6
2
b2
=1
a2+b2=1
,解得
a2=
1
4
b2=
3
4

∴所求雙曲線方程為
x2
1
4
-
y2
3
4
=1,即4x2-
4y2
3
=1
點評:本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法:待定系數法,熟練掌握圓錐曲線的性質是解題的關鍵,同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧.
練習冊系列答案
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x2
a2
-
y2
b2
=1的一個焦點,并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直,拋物線與雙曲線交于點P(
3
2
,
6
),求拋物線方程和雙曲線方程.

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