Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=a，且a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
（1）若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求出a，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a等差數(shù)列，知2（-2a+4）=a+4a，由此能求出實(shí)數(shù)a的值．
（2）因?yàn)閍_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），所以

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，故{

an

2n

-

1

2

}是以

a

2

-

1

2

為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}能為等比數(shù)列的充要條件．

解答： 解：（1）a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴2（-2a+4）=a+4a，
∴a=

8

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；
（2）∵a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，
∴

an+1

2n+1

-

1

2

=-（

an

2n

-

1

2

），
故{

an

2n

-

1

2

}是以

a

2

-

1

2

為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，
∴

an

2n

-

1

2

=（

a

2

-

1

2

）•（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ[

1

2

+（

a

2

-

1

2

）•（-1）^n-1]，
∴

an+1

an

=2•

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1

，
∴{a_n}為等比數(shù)列

an+1

an

為常數(shù)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，

an+1

an

=2為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．