Question

5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F任意作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和M，N．設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為P，Q．求證：直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y），由已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，利用拋物線的定義，可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+2k²，-2k），進(jìn)而可確定直線PQ的方程，即可得到結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)P（x，y），由已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，
∴點(diǎn)P滿足拋物線定義，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線，p=2，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x．　…（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
由題意可設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），
與拋物線方程，聯(lián)立化簡得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{4}{k}$．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
由題知，直線l₂的斜率為-$\frac{1}{k}$，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+2k²，-2k）．
當(dāng)k≠±1時(shí)，有1+$\frac{2}{{k}^{2}}$≠1+2k²，此時(shí)直線PQ的斜率k_PQ=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$．
所以，直線PQ的方程為y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，于是，直線PQ恒過定點(diǎn)E（3，0）；
當(dāng)k=±1時(shí)，直線PQ的方程為x=3，也過點(diǎn)E（3，0）．
綜上所述，直線PQ恒過定點(diǎn)E（3，0）． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線的聯(lián)立，確定直線PQ的方程．