Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，點P（2，1）為拋物線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$上的定點，A，B為拋物線C上兩個動點．
（1）若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線AB的斜率為定值；
（2）若PA⊥PB，直線AB是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用斜率公式及直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)兩直線斜率相反，從而求出AB斜率．
（2）若PA⊥PB，則兩直線斜率積為-1，求出直線AB 的方程，可得直線AB經(jīng)過定點（-2，5）．

解答 證明：（1）設(shè)點A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率相反，
又k_PA=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{x}_{1}+2}{4}$，k_PB=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{2}+2}{4}$，
所以$\frac{{x}_{1}+2}{4}$+$\frac{{x}_{2}+2}{4}$=0，
整理得x₁+x₂+4=0，
所以k_AB=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=-1．
（2）解：因為PA⊥PB，
所以k_PAk_PB=$\frac{{x}_{1}+2}{4}$•$\frac{{x}_{2}+2}{4}$=-1，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+20=0，①
直線AB的方程為：$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-y}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}=\frac{{x}_{1}-x}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
整理得：4y-${{x}_{1}}^{2}$=（x₁+x₂）（x-x₁），
即x₁x₂-x（x₁+x₂）+4y=0，②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}-x=2\\ 4y=20\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=5\end{array}\right.$，
即直線AB經(jīng)過定點（-2，5）．

點評 本題考查的知識點是直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點問題，斜率公式，難度中檔．