Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC中點(diǎn)，作EF⊥PB，交PB于點(diǎn)F．
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：平面EFD⊥平面PBC
（3）求證：PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理證明線面平行．
（2）利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可證明．
（3）利用線面垂直的判定定理證明．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）連AC與BD相交于O，連接OE，
則OE為△APC的中位線，OE∥PA，
又OE?平面EDB，PA?平面EDB，
由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB…（3分）
（2）PD=DC，且PD⊥底面ABCD，
∴△PDC為等腰直角三角形，E是PC中點(diǎn)，DE⊥PC，
又底面ABCD為正方形BC⊥DC，
由BC⊥PD，PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，
∴DE⊥BC，又PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC，DE?平面EFD
故平面EFD⊥平面PBC…（9分）
（3）由（2）知，DE⊥平面PBC，PB?平面PBC，
∴PB⊥DE，
又PB⊥EF，EF∩DE=E，
∴PB⊥平面EFD．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行、面面垂直和線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理，屬于中檔題．