已知:如圖,在四棱錐中,四邊形
為正方形,
,
且,
為
中點(diǎn).
(1)證明://平面
;
(2)證明:平面平面
;
(3)求二面角的正弦值.
解: (Ⅰ)
證明:連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO.
O為BD中點(diǎn),E為PD中點(diǎn),∴EO//PB.
EO
平面AEC,PB
平面AEC, ∴ PB//平面AEC.
(Ⅱ)證明: PA⊥平面ABCD. 平面ABCD,∴
.
又在正方形ABCD中
且
,
∴CD平面PAD,又
平面PCD,
∴平面平面
.
(Ⅲ)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為
軸,
軸,
軸建立空
間直角坐標(biāo)系.
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) .
PA平面ABCD,∴
是平面ABCD的法向量,
=(0, 0, 2).設(shè)平面AEC的法向量為
,
,
則 即
∴
∴ 令,則
. ∴
,
二面角的正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)要從這10 000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查,則月收入在[2 500,3 000)(元)內(nèi)應(yīng)抽出________人.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
過點(diǎn)(2,-1)引直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線共有( )條
A. 1 B.2 C. 3 D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
甲乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲,已知他們每一次投籃投中的概率均為,且各次投籃的結(jié)果互不影響.甲同學(xué)決定投5次,乙同學(xué)決定投中1次就停止,否則就繼續(xù)投下去,但投籃次數(shù)不超過5次.
(1)求甲同學(xué)至少有4次投中的概率;
(2)求乙同學(xué)投籃次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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