Question

已知函數(shù)，（且為常數(shù)）．

（Ⅰ）若曲線在處的切線過點，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）=，

又曲線在處的切線過點,得，   …3分

即，解得            …………………………………………4分

（Ⅱ）存在實數(shù)，，使得成立，

即                 ………………………………5分

由（Ⅰ）知在上的解為 ，

函數(shù)在 上遞增，在上遞減

                  …………………………………7分

又恒成立，在上遞增，

，                 ……………………………8分

故，得，

所以實數(shù)的取值范圍是               ………………………………9分

（Ⅲ）由 得

，化為，    ……10分

令，則

由，得，

故在上遞增，在上遞減，

.            …………………………………………12分

再令，

因為，所以函數(shù)在上遞增，

.      …………………………13分

知，由此判斷函數(shù)在上沒有零點，

故零點個數(shù)為0.                                   ………………14分