Question

某項(xiàng)競(jìng)賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段選手要回答一個(gè)問(wèn)題．規(guī)定正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一階段競(jìng)賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過(guò)初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是

3

4

，

1

2

，

1

4

，且各階段通過(guò)與否相互獨(dú)立．
（1）求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率；
（2）設(shè)該選手在競(jìng)賽中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與方差．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記“該選手通過(guò)初賽”為事件A，“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B，“該選手通過(guò)決賽”為事件C，直接求解P（A），P（B），P（C）．然后求解該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率P=P（A

.

B

）．
（2）ξ可能取值為1，2，3．推出ξ的分布列，然后ξ的數(shù)學(xué)期望，ξ的方差．

解答： 解：（1）記“該選手通過(guò)初賽”為事件A，“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B，“該選手通過(guò)決賽”為事件C，則P（A）=

3

4

，P（B）=

1

2

，P（C）=

1

4

…（2分）
那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率P=P（A

.

B

）=

3

4

×(1-

1

2

)=

3

8

…（4分）
（2）ξ可能取值為1，2，3．…（5分）
P(ξ=1)=1-

3

4

=

1

4

，P(ξ=2)=

3

4

(1-

1

2

)=

3

8

，P(ξ=3)=

3

4

×

1

2

=

3

8

…（8分）

ξ	1	2	3
P	1 4	3 8	3 8

ξ的分布列為：…（9分）
ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1×

1

4

+2×

3

8

+3×

3

8

=

17

8

…（10分）
ξ的方差為Dξ=(1-

17

8

)2×

1

4

+(2-

17

8

)2×

3

8

+(3-

17

8

)2×

3

8

=

39

64

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列期望與方差的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、