Question

7．如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在CE上．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求三棱錐C-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BC⊥平面ABE，從而AE⊥BC，再求出AE⊥BF，從而AE⊥平面BEC，由此能證明AE⊥BE．
（2）作EH⊥AB，三棱錐C-ADE的體積V_C-ADE=V_E-ACD，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC，…（1分）
∵BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，AE?平面ACE，
∴AE⊥BF，…（2分）
∵BC∩BF=B，…（3分）
BC?平面BEC，BF?平面BEC，∴AE⊥平面BEC，
∵BE?平面BEC，∴AE⊥BE．…（4分）
解：（2）作EH⊥AB，…（5分）
∵DA⊥平面ABE，EH?平面ABE，∴AD⊥EH，…（6分）
AD∩AB=A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，…（7分）
由（1）得AE⊥BE，AE=EB=BC=2，
AB=2$\sqrt{2}$，EH=$\sqrt{2}$，…（8分）
∴三棱錐C-ADE的體積V_C-ADE=V_E-ACD=$\frac{1}{3}EH•{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．