Question

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)．

(1)求證：EF∥平面ABC₁D₁；

(2)求證：EF⊥B₁C；

(3)求三棱錐B₁－EFC的體積．

Answer 1

解：(1)證明：連接BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D、DB的中點(diǎn)，則EF∥D₁B.又EF⊄平面ABC₁D₁，D₁B⊂平面ABC₁D₁，∴EF∥平面ABC₁D₁.

(2)證明：由題易得B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，AB∩BC₁＝B，

∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，又BD₁⊂平面ABC₁D₁，

∴B₁C⊥BD₁，又EF∥BD₁，

∴EF⊥B₁C.

(3)∵CF⊥BD，CF⊥BB₁，BD∩BB₁＝B，

∴CF⊥平面BDD₁B₁，

即CF⊥平面EFB₁，

又易得CF＝BF＝，BD₁＝2，

∴EF＝BD₁＝，

∴B₁F＝＝＝，

B₁E＝＝ ＝3，

∴EF²＋B₁F²＝B₁E²，

故∠EFB₁＝90°，