Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過A（0，2），B（

1

2

，

2

），
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過E（1，0）的直線l與橢圓C交于兩個不同點(diǎn)M、N，求

EM

•

EN

的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）對橢圓的焦點(diǎn)分類討論，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）設(shè)過E（1，0）的直線l的方程為：y=k（x-1），與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積運(yùn)算、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0），則a=2，

2

a2

+

1

4b2

=1，解得b2=

1

2

．可得橢圓C的方程為：

y2

4

+2x2=1．
設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），不滿足題意，應(yīng)舍去．
綜上可得：橢圓C的方程為：

y2

4

+2x2=1．
（2）設(shè)過E（1，0）的直線l的方程為：y=k（x-1），與橢圓C交于兩個不同點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-1) y2+8x2=4

，化為（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0．
△＞0，化為k²＜8．
∴x1+x2=

2k2

k2+8

，x₁x₂=

k2-4

k2+8

．
∴

EM

•

EN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=（1+k²）(

k2-4

k2+8

-

2k2

k2+8

+1)
=

4(1+k2)

k2+8

=4-

28

k2+8

．
∵0≤k²＜8，
∴

7

4

＜

28

k2+8

≤

7

2

，
∴

1

2

≤4-

28

k2+8

＜

9

4

．
∴

EM

•

EN

的范圍是[

1

2

，

9

4

)．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．