Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（-x）+f（x）=x²，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜x，則不等式f（x）+

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2

≥f（1-x）+x的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：可先對(duì)f（-x）+f（x）=x²，兩邊對(duì)x取導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x＜0時(shí)，f′（x）＜x，推出x＞0時(shí)，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）+

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2

-f（1-x）-x，求導(dǎo)并推出F′（x）＜0，且F（

1

2

）=0，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可解出不等式．

解答： 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
f（-x）+f（x）=x²，
兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得-f′（-x）+f′（x）=2x，
∴f′（x）=f′（-x）+2x，
令x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜x，
∴f′（-x）＜-x，
∴f′（x）＜2x-x，即f′（x）＜x，
又f（0）=0，直線y=x過(guò)原點(diǎn)，
∴f′（0）≤0，
∴x∈R，都有f′（x）＜x，
令F（x）=f（x）+

1

2

-f（1-x）-x，則
F′（x）=f′（x）+f′（1-x）-1＜x+1-x-1=0，
即F（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，且F（

1

2

）=0，
∴不等式f（x）+

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2

≥f（1-x）+x，
即F（x）≥0，即F（x）≥F（

1

2

），
∴x≤

1

2

．
∴原不等式的解集為（-∞，

1

2

]．
故答案為：（-∞，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并應(yīng)用單調(diào)性解不等式，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的能力，如何運(yùn)用條件，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，是解決此類題的關(guān)鍵，值得重視．